Class 10 Math Exercise 1.1 new syllabus

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Class 10 Math Exercise 1.1 new syllabus वास्तविक संख्याये के इस अध्याय में कुल 07 प्रश्न हैं जिनका हल नीचे दिया गया है इस अध्याय Class 10 Math Exercise 1.1 new syllabus में नई शिक्षा नीति के अनुसार नए प्रश्नों के हलों का समावेश है |

Class 10 Math Exercise 1.1 new syllabus

प्रश्न 01 

निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंड के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिये :

(I) 140    (ii) 156     (iii) 3825    (iv) 5005    (v) 7429

हल -

(i) 140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 2² x 5 x 7
(ii) 156 = 2 x 2 x 3 x 13 = 2² x 3 x 13
(iii) 3825 = 3 x 3 x 5 x 5 x 17 = 3² x 5² x 17
(iv) 7429 = 17 x 19 x 23

प्रश्न 02

पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और  LCM ज्ञात कीजिये तथा इसकी जांच कीजिये कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM है |

(i) 26 और  91            (ii) 510 और  92             (iii) 336 और  54

हल -

(i) 26 और  91

26 = 2 x 13
91 = 7 x 13
HCF = 13
LCM = 2 x 7 x 13 = 182
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM
पहली सं0 x दूसरी सं0 = HCF x LCM
   26         x      91      =  13 x 182
             2366            =    2366

इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM

 (ii) 510 और  92

510 =    2 x 3 x 5 x 17
92 =     2 x 2 x 23
HCF = 2
LCM = 2 x 2 x 3 x 5 x 17 x 23 = 23460
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM
पहली सं0 x दूसरी सं0 = HCF x LCM
    510    x    92            = 2 x 23460
            46920              =    46920
इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM

(iii) 336 और  54

336    =    2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7 
54     =    2 x 3 x 3 x 3
HCF = 2 x 3 = 6
LCM = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7 = 3024
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM
पहली सं0 x दूसरी सं0 = HCF x LCM
    336    x    54         =    6 x 3024
            18144           =    18144
इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM

प्रश्न -03

अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिये |

(i) 12, 15 और 21     (ii) 17, 23 और 29     (iii) 8, 9 और 25 

हल -

(i) 12, 15 और 21

12 = 2 x 2 x 3 

15 = 3 x 5

21 = 3 x 7

HCF = 3 
LCM = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 420

(ii) 17, 23 और 29

17 = 1 x 17 
23 = 1 x 23 
29 = 1 x 29 
HCF = 1 
LCM = 1 x 17 x 23 x 29  = 11339

(iii) 8, 9 और 25

8 = 1 x 2 x 2 x 2 
9 = 1 x 3 x 3 
25 = 1 x 5 x 5 
HCF = 1 
LCM = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 1800 

प्रश्न 04

HCF (306,657) = 9 दिया है| LCM (306,657) ज्ञात कीजिये |

हल -

HCF ( 306, 657 ) = 9 
हम जानते हैं कि,
पहली संख्या x दूसरी संख्या = LCM x HCF
        306     x     657         =  LCM x 9 
                201,042             = LCM x 9 

                   LCM            =  201042 

                                                 9 

                    LCM            = 22338 

प्रश्न 05-

जांच कीजिये कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है |

हल -

यदि कोई संख्या अंक 0 पर समाप्त हो सकती है, तो वह 10 से विभाजित होती है या यह संख्या 2 और 5 से विभाजित होगी |

क्योंकि 10 = 2 x 5 

6ⁿ का अभाज्य गुणनखंड = (2 x 3)ⁿ = 2ⁿ x 3ⁿ

6ⁿ के अभाज्य गुणनखंड में 5 नहीं है|

^{इसलिए} 6ⁿ, 5 से विभाजित नहीं होगा |  

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्दुतियता हमें यह निश्चित कराती है कि 6ⁿ के गुणनखंड में 2 और 3 के अतिरिक्त और कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है |
अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती |  

प्रश्न 06 -

व्याख्या कीजिये कि 7 x 11 x 13 + 13 और 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों हैं |

हल - 

हम जानते है कि भाज्य संख्या के 2 से अधिक गुणनखंड होते हैं |

दी गई संख्या 7 x 11 x 13 +13 
= 13 x (7 x 11 + 1)
= 13 x (77 +1)
= 13 x 78
= 13 x 13 x 6
इस प्रकार, इस संख्या के दो से अधिक भाजक हैं | इसलिए यह भाज्य संख्या होगी |

दी गई संख्या 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5
= 5 x (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 1)
= 5 x (1008 + 1)
5 x 1009
इस प्रकार, इस संख्या के दो से अधिक भाजक हैं इसलिए यह संख्या भी एक भाज्य संख्या होगी |

प्रश्न 07 -

किसी खेल के मैदान के चारो ओर एक वृत्ताकार पथ है | इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं | मान लीजिये वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं | कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे |

हल - 

रवि को 12 मिनट लगते हैं जबकि सोनिया को 18 मिनट लगते हैं एक समय बाद दोनों अपने प्रारंभ स्थान पर होंगे और वह समय 12 और 18 का  LCM होगा 

18 = 2 x 3 x 3
12 = 2 x 2 x 3
12 और 18 का LCM = 2 x 2 x 3 x 3 = 36 
इस प्रकार, रवि और सोनिया 36 मिनट बाद अपने प्रारंभ स्थान पर मिलेंगे |